ДЗИ по математика - МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА 22.05.2017 г.

1. Кое от числата принадлежи на интервала $\ (–1,5;1,5)$?

$\sqrt{{\left({1 \over 2}\right)}^{-2}}$
$(–32)^{1 \over 5}$
${3 \over 2}$
$\log _{1 \over 5}$ 5

2. Стойността на израза $\sqrt{{1 \over 2}+{3 \over 4}}$ – $\sqrt{{8 \over 9}-{1 \over 3}}$ е:

${5 \over 6}$
$\sqrt{5} \over 6$
$\ 5\sqrt{3} - \sqrt{2} \over 6$
$\sqrt{5 \over 6}$

3. Кое от числата НЕ е от допустимите стойности на израза $\sqrt{3x-2} \over x(x^2 -1)$

${8 \over 3}$
${2 \over 3}$
${5 \over 3}$
$\ 1$

4. Множеството от решенията на уравнението ${х+7} \over 3 - 6x$.$\sqrt{2x-1}$ = 0 е:

$\oslash$
$\{-7\}$
$\left\lbrace-7; {1 \over2}\right\rbrace$
$\left\{{1 \over2}\right\}$

5. Стойността на израза $\left(-log _{2}\sqrt{2}\right)^2$ е:

– ${1 \over 2}$
$\ 1$
${1 \over 4}$
${1 \over 2}$

6. Решенията на неравенството 4x² –12x > –9 са:

$\ x\in(-\infty;+\infty)$
$\ x\in(1,5;+\infty)$
$\ x\in(-\infty;1,5)$
$\ x\in(-\infty;1,5)\cup(1,5;+\infty)$

7. Кое от дадените уравнения има два реални корена с различни знаци?

$\ x^2-10x+25=0$
$\ -2x^2-3x-4=0$
$\ 3x^2+16x+21=0$
$\ 3x^2+x-7=0$

8. Стойността на израза ${cos780° + tg405°} \over sin(-930°)$ е равна на:

$\ 3$
$\ 3 + \sqrt{3} \over 3$
$\ -3$
${3 \over4}$

9. Намерете дължината на страната ВС на $ \triangle ABC$, ако $\ CL (L \in AB)$ е ъглополовящата на $\sphericalangle АСВ$, $\ AL = 5 cm$, $\ AB = 9 cm$ и $\ AC = 15 cm$.

$\ 3 cm$
$\ 12 cm$
$\ 45 cm$
$\ {4 \over 3}cm$

10. В $ \triangle ABC$ $\ (\sphericalangle С = 90°)$ е построена височината $\ CH (H \in AB)$. Ако $\ AH = 3 cm$, $\ BH = 9 cm$, то дължината на АС е:

$\ 6 cm$
$\ 3\sqrt{3}cm$
$\ 6\sqrt{3}cm$
$\ 9 cm$

11. Коя от квадратните функции има най-голяма стойност 9?
$\ y = 2x^2 - 9$
$\ y = 2x^2 + 9$
$\ y = -2x^2 + 9$
$\ y = -2x^2 - 9$

12. Коя от посочените числови редици е зададена с равенствата $\ a_{1}= -1$, $\ a_{n}=a_{n-1}(a_{n-1} -1)$, $\ n \geq 2$, $\ n \in \mathbb{N}$

$\ -1, -2, 6, 30, ...$
$\ -1, 2, 2, 2, ...$
$\ -1, 0, 0, 0, ...$
$\ -1, 2, -1, 2, ...$

13. Намерете броя на членовете на крайна аритметична прогресия, ако $\ a_{1}= 13$, $\ a_{4}= 1$ и сумата на всичките й членове е 18.

$\ 6$
$\ 9$
$\ 24$
$\ 12$

14. Ако $\ A(1;1)$ и $\ B(-1;1)$ са точки в правоъгълна координатна система хОу, то $\ sin\sphericalangle AOB$ е равен на:

$\ 0$
$\sqrt{2} \over 2$
$\ 1$
$\ -1$

15. Майка, баща и трите им деца отиват на кино, като билетите им са на един ред и са седнали един до друг. Намерете броя на начините, по които могат да седнат те, ако майката и бащата са седнали един до друг.
$\ 120$
$\ 12$
$\ 24$
$\ 48$

16. На диаграмата са показани годишните оценки по математика на учениците от четири класа.

Средният успех по математика на всички ученици е:

$\ 4,43$
$\ 4,00$
$\ 4,50$
$\ 4,33$

17. За подобните $ \triangle ABC$ и $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ е дадено, че $\ AB = \sqrt{3} + 1$, $\ A_{1}B_{1} = {3 \sqrt{3} + 3 \over 2}$ и $ P_{\triangle ABC} + P_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=12,5$. Намерете $ P_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$.

$\ 5$
$\ 8$
$\ 7,5$
$\ 4,5$

18. В $ \triangle ABC \sphericalangle А = 30°$, $\ \sphericalangle С = 15°$, a проекцията на страната ВС върху правата АВ е равна на $\ 6cm$. Дължината на радиуса на описаната около $ \triangle ABC$ окръжност е равен на:

$\ 6\sqrt{2}cm$
$\ 12cm$
$\ 6\sqrt{3}cm$
$\ 6\sqrt{6}cm$

19. Диагоналите АС и BD на трапеца $\ ABCD (AB \parallel CD)$, са ъглополовящи на ъглите при голямата основа АВ и $\ \sphericalangle ACB = 90°$. Ако $\ AD = 4 cm$, намерете разстоянието между средите на диагоналите на ABCD.

$\ 4cm$
$\ 6cm$
$\ 8cm$
$\ 2cm$

20. Квадратът ABCD е със страна $ 1 cm$. Диагоналите му се пресичат в точка О, а точката М е средата на DО. Ако $ AM \cap DC = L$, то $ S_{\triangle ALD}$ е равно на:

$\ {1 \over 3}cm^{2}$
$\ {2 \over 3}cm^{2}$
$\ {1 \over 6}cm^{2}$
$\ {1 \over 2}cm^{2}$

Решенията на задачите по-долу запишете отделно в тетрадката си

Пресметнете $\ log_{49}x$, ако $\ x = \left(log_{5}2^{log_{2}125}\right)^{log_{3}7}$.

Пресметнете израза $ {\left[ {\left( \frac 32 \right)}^{-2}+3^{-2}\right]}^{-2}.{\left[ {\left( -\frac 32 \right)}^{-2}+3.2^{-1}\right]}^2 $

21. За аритметичната прогресия $\ а_{1}, а_{2}, а_{3}, а_{4}, а_{5}, а_{6}$ е известно, че разликата от сбора на членовете с четни номера и сбора на членовете с нечетни номера е равна на $\ -15$. Ако $\ а_{6} = 1$, намерете сбора от членовете на прогресията.

С цифрите 1, 2, 3, 5 и 7 компютър генерира всички трицифрени числа с различни цифри. Определете каква е вероятността при случаен избор на едно от тези числа, то да се дели на 6.

Точките М и N лежат съответно на страните АС и ВС на $ \triangle ABC$, като $\ AM = 3 cm$, $\ MC = 9 cm$, $\ BN = 12 cm$ и $\ NC = 6 cm$. Намерете дължината на страната АВ, ако в четириъгълника АВNM може да се впише окръжност.

Решете системата

Даден е четириъгълник ABCD със страни $\ AB = BC$, $\ CD = 4$, $\ AD = 3$ и ъгли $\ \sphericalangle ABC = 60°$ и $\ \sphericalangle ADC = 90°$. Намерете стойността на разликата $\ BD^2 - AC^2$.

Лицето на ромб е $\ 24 cm^2$, а периметърът му е с $\ 6 cm$ по-голям от сбора на диагоналите му. Намерете страната на ромба и стойността на израза ${sin\alpha - sin{\alpha \over 2}} \over 1 - cos{\alpha \over 2} + cos\alpha$, ако $\ \sphericalangle BAD = \alpha$ и $\ \alpha < 90°$.