ДЗИ по математика - МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА 29.05.2018 г.

1. Най-голяма е стойността на израза:

\(\ log_{2}16\)
\(\sqrt{17}\)
\({\left({1 \over 5}\right)}^{-1}\)
\(\sqrt[3]{16}\)

2. Числената стойност на израза \(\ A = {{\left({1 \over 2}\right)}^{-3}.{(2^{-2})}^{-3}.2^0 \over {\left({1 \over 2}\right)}^{-9}.{\left({3 \over 4}\right)}^{-2}}\) е:
\(\ 9 \over 16\)
\(\ 16 \over 9\)
\(\ -{9 \over 16}\)
\(\ 0\)

3. Изразът \(\ A = {2x - 1 \over x^2 \sqrt{x-3}}\) е дефиниран за всяко:

\(\ x\neq 3\)
\(\ x>3\)
\(\ x\neq 0\)
\(\ x>0, x\neq 3\)

4. Множеството от решенията на неравенството \(\ x^2>4x\) е:
\((0;4)\)
\((-\infty; 0) \cup (4;\infty)\)
\((4;\infty)\)
\((-\infty; -2) \cup (2;\infty)\)

5. Стойността на израза \({( log_3 \sqrt3)}^{-2}\) е:

\(\ -1\)
\(\ 1 \over 2\)
\(\ 4\)
\(\ 1 \over 4\)

6. Множеството от решенията на уравнението \(\ x-2 \sqrt x = 3\) е:

\(\{9;1\}\)
\(\{9\}\)
\(\{3\}\)
\(\{-1;3\}\)

7. Ако \(\ x_1\) и \(\ x_2\) са реалните корени на уравнението \(\ 2x^2 - x - 6 = 0\), намерете стойността на израза \(\ B = {{x_1 \over x_2} + {x_2 \over x_1}}\).

\(\ 2{1 \over 12}\)
\(\ 23 \over 12\)
\(\ -2{1 \over 12}\)
\(\ -{7 \over 12}\)

8. Стойността на израза \(\ 4cos^2{\pi \over 12}\) е:
\(\ 2 - \sqrt 3\)
\(\ 3\)
\(\ 2 + \sqrt 3\)
\(\ 1 \over 8\)

9. В \( \triangle ABC\) \( CL\) е ъглополовяща. Ако \(\ AC = 5 cm, BC = 3 cm\) и \(\ KL \Vert AC (K \in BC)\), то отношението \(\ CK:BK\) е равно на:

\(\ 3:2\)
\(\ 5:3\)
\(\ 8:5\)
\(\ 2:1\)

10. B \( \triangle ABC (\sphericalangle C = 90°) AC = 5, BC = 12\), а М е средата на АВ. Стойността на \(\ sin\sphericalangle ACM\) e:
\(\ 12 \over 13\)
\(\ 5 \over 12\)
\(\ 5 \over 13\)
\(\ 1\)

11. В правоъгълна координатна система с единична мярка \(\ 1cm\) разстоянието от върха на параболата \(\ y = x^2 - 6x\) до абсцисната ос е:
\(\ 0cm\)
\(\ 6cm\)
\(\ 9cm\)
\(\ 3cm\)

12. Осмият член на крайна аритметична прогресия е неин среден член и е равен на \(\ 7,5\). Сборът от членовете на прогресията е:
\(\ 15\)
\(\ 225\)
\(\ 60\)
\(\ 112,5\)

13. За намаляваща геометрична прогресия е известно, че \(\ a_1 = -3\) и \(\ S_5 - S_4 = -48\). Частното на прогресията е:
\(\ 1 \over 2\)
\(\ -2\)
\(\ 4\)
\(\ 2\)

14. Ако \(\ sin\alpha = {2 \over 3}\) и \(\ \alpha \in\left({\pi \over 2}; \pi\right)\), то стойността на израза \(\ cos\alpha + cotg\alpha\) е:

\(\ - {5 \sqrt5 \over 6}\)
\(\sqrt5 \over 3\)
\(\ 5 \sqrt5 \over 6\)
\(\ - {\sqrt5 \over 3}\)

15. На кръговата диаграма е представено разпределението на личния състав на една фирма, която има \(\ 720\) служители в различни отдели. Според даденото на диаграмата, определете броя на служителите от техническия отдел.

\(\ 216\)
\(\ 108\)
\(\ 504\)
\(\ 252\)

16. Спортен отбор получава комплекти нови екипи, като в тях има по две различни якета, по три модела панталони и по пет различни блузи. По колко различни начина може да се облече отборът с еднакви екипи, които се състоят от яке, панталон и блуза.
\(\ 15\)
\(\ 30\)
\(\ 10\)
\(\ 60\)

17. Дължините на две от страните на един триъгълник са \(\ 7cm\) и \(\ 8cm\) и ъгълът между тях е \(\ 120°\). Намерете дължината на радиуса на описаната около триъгълника окръжност.
\(\ 19cm\)
\(\ {13 \sqrt3 \over 3}cm\)
\(\ {13 \sqrt3 \over 2}cm\)
\(\ 13cm\)

18. От точка С на окръжност k са построени хордите CA и CB с дължини съответно \(\ 17cm\) и \(\ 21cm\). Средите им са свързани с отсечка, чиято дължина е \(\ 5cm\). Дължината на радиуса на окръжността е:
\(\ 84cm\)
\(\ 24cm\)
\(\ {85 \over 8}cm\)
\(\ 48cm\)

19. Четириъгълникът ABCD е описан около окръжност с радиус \(\ 3cm\). Ако \(\ AB = 5cm\) и \(\ CD = 8cm\), то лицето му е:

\(\ 26 cm^2\)
\(\ 39 cm^2\)
\(\ 40 cm^2\)
\(\ 37 cm^2\)

20. За правоъгълника ABCD е дадено, че \(\ AB:AC = 4:5\). Ако MNPQ е квадрат с диагонал \(\ 10 \sqrt6 cm\) и \(\ S_{ABCD} = S_{MNPQ}\), то периметърът на ABCD е:

\(\ 90 cm\)
\(\ 70 cm\)
\(\ 40\sqrt3 cm\)
\(\ 20\sqrt3 cm\)

21. Дадени са редиците, чиито общи членове се задават с формулите \(\ a_n = 12n-4\) и \(\ b_n = 3n^2 - n, n \in \mathbb{N}\). Намерете най-малкото число n , за което е изпълнено неравенството \(\ a_n \le b_n\).

22. Средната месечна температура на връх Вежен, измерена в градуси по Целзий, за една година по месеци e дадена в таблицата. Каква е средната температура за цялата година на връх Вежен?

23. Ако \( \triangle ABC\) е с дължини на страните \(\ 24\), \(\ 26\) и \(\ 10\), намерете дължината на медианата към най-голямата страна.

Решенията на задачите по-долу запишете отделно в тетрадката си

Намерете допустимите стойности на израза \(\ A = {\sqrt{x-5} \over x^2 - 49} + {\sqrt{3+x^2} \over \sqrt{x+1}}\).

На чертежа е показана графиката на квадратната функция \(\ y = -x^2 + 3x + 4\).

Намерете лицето на \( \triangle ABC\), който има за върхове пресечните точки на параболата с координатните оси.

Решете уравнението \({2 \over y^2 -1} + {1 \over y +1} - {5 \over y-1} = 1\) и намерете стойностите на х, за които \(\ y =x^2 -4x\).

Решете неравенството \({2 \over x^2 -3x +2} \ge {3 \over x^2 - 4x +3} - {2 \over x^2 -6x + 9}\) и проверете дали числото \(\ log_{2}6\) е негово решение.

Около окръжност k с център О и радиус \(\ r = \sqrt 3 cm\) е описан трапец \(\ ABCD (AB \Vert CD, AB > CD)\) с лице \(\ 18 cm^2\). Намерете дължините на страните и мерките на ъглите на трапеца, ако \( \sphericalangle BAO = \sphericalangle CDO\).