ДЗИ по математика - МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА 29.05.2017 г.

1. Кое от посочените числа НЕ е рационално?

\(\ 22 \over 7\)
\(\ 2017^2\)
\(\sqrt[3]{27 \over 8}\)
\(\sqrt8\)

2. Стойността на израза \(\ a^3.{(-a^2)}^4.a^{-10} \over (-a)^5\) при \(\ a = \sqrt5\) е равна на:

\(\ 1 \over 25\)
\(\ -25\)
\(\ 25\)
\(\ -{1 \over 25}\)

3. Решениe на уравнението \(\ 2 - \sqrt{3x-1} = 5\) e:

\(\ 1 \over 3\)
\(\ -1\)
\(\varnothing\)
\(\ 10 \over 3\)

4. Стойността на израза \(\ log_5\left(5\sqrt[3]{5}\right)\) е:

\(\ 5 \over 3\)
\(\sqrt[3]{5}\)
\(\ 4 \over 3\)
\(\ 1 + \sqrt[3]{5}\)

5. Двойката числа \(\ (-1;1)\) е решение на системата:

6. Кое от уравненията има два положителни реални корена?
\(\ -3x^2 + 5x + 1 = 0\)
\(\ 3x^2 + 5x + 1 = 0\)
\(\ -3x^2 + 5x - 1 = 0\)
\(\ 3x^2 + 5x - 1 = 0\)

7. Пресметнете стойността на израза \(\ A = {\sin^2(90° - \alpha) \over cos(180° + \alpha)}\) за \(\alpha = 390°\).

\(\ {\sqrt3 \over 2}\)
\(\ 1 \over 2\)
\(\ -{1 \over 2}\)
\(\ -{\sqrt3 \over 2}\)

8. Страните на \( \triangle ABC\) са \(\ AB = 12 cm\), \(\ AC = 10 cm\) и \(\ BC = 5 cm\). Намерете дължината на ъглополовящата \(\ CL(L\in AB)\) на триъгълника.

\(\ 3\sqrt2 cm\)
\(\ 18 cm\)
\(\sqrt{82}cm\)
\(\sqrt{28}cm\)

9. В \( \triangle ABC \sphericalangle А = 30°\), \(\sphericalangle В = 135°\) и \(\ AC = 12 cm\). Ако СН е височината от С към АВ \(\ (H \in AB)\), то дължината на ВН е:

\(\ 6\sqrt2 cm\)
\(\ 6 cm\)
\(\ 6\sqrt6 cm\)
\(\ 4 cm\)

10. Най-малката стойност, която приема функцията \(\ y = 5x^2 - 5x + 2\), е:
\(\ -{3 \over 4}\)
\(\ 3 \over 4\)
\(\ 1 \over 2\)
\(\ 23 \over 4\)

11. Множеството от допустимите стойности на израза \(\ A = \sqrt{-x+1 \over x+3} + \sqrt[3]{1 \over x}\) е:
\(\ x \in(0;1]\)
\(\ x \in[1;+\infty)\)
\(\ x \in(-3;0) \cup (0;1]\)
\(\ x \in(-3;1]\)

12. Коя от зададените с формула за общия й член числова редица \(\ a_{1}, a_{2}...a_{n},....., \forall n \in \mathbb{N}\), е строго растяща?

\(\ a_{n} = n^2 - 4n + 4\)
\(\ a_{n} = n^2 - 18n + 81\)
\(\ a_{n} = n^2 + 2n + 1\)
\(\ a_{n} = n^2 - 6n + 9\)

13. На колко е равна сумата на първите \(\ 20\) члена на аритметичната прогресия \(\ {1 \over 2}; 2; 3{1 \over 2}; 5; .....\)?
\(\ 275\)
\(\ 295\)
\(\ 590\)
\(\ 570\)

14. Ако \(\ A(1;0)\) и \(\ B(-1;1)\) са точки в правоъгълна координатна система хОу, то \( cot g \sphericalangle АOB\) е равен на:
\(\ 1\)
\(\ 0\)
\(\ -{\sqrt2 \over 2}\)
\(\ -1\)

15. В сладкарница предлагат \(\ 8\) вида торти, \(\ 5\) вида кафе и \(\ 6\) вида чай. По колко начина може да се избере меню, състоящо се от торта и кафе или от торта и чай?
\(\ 19\)
\(\ 1920\)
\(\ 88\)
\(\ 240\)

16. При направено проучване за предпочитанията на потребителите на \(\ 4\) вида сладолед – ванилия, мента, шоколад и лешник, \(\ 60\) човека са избрали мента. Като използвате данните от диаграмата, определете колко човека предпочитат шоколадов сладолед?

\(\ 105\)
\(\ 300\)
\(\ 21\)
\(\ 27\)

17. За подобните \( \triangle ABC\) и \( \triangle A_{1}B_{1}C_{1}\) е дадено, че \(\ S_{\triangle ABC} + S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=507\). Намерете \( S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}\), ако \(\ AB = \sqrt{2} + 1\), \(\ A_{1}B_{1} = {2 \sqrt{2} + 2 \over 3}\).
\(\ 202,8\)
\(\ 351\)
\(\ 156\)
\(\ 304,2\)

18. В равнобедрения \( \triangle ABC (AC = BC)\) бедрото \(\ AC = 26 cm\) и \( sin\sphericalangle CАB = {12 \over 13}\). Намерете лицето на триъгълника.

\(\ 60 cm^2\)
\(\ 240 cm^2\)
\(\ 120 cm^2\)
\(\ 30 cm^2\)

19. Дължината на най-малката медиана в триъгълник със страни \(\ a = 2 cm\), \(\ b = \sqrt5 cm\), \(\ c = 3 cm\) е:

\(\sqrt6 cm\)
\(\ {1 \over 2} \sqrt{21} cm\)
\( 1 cm\)
\( 1,5 cm\)

20. На фигурата \( \triangle ADC\) и \( \triangle ACB\) са равнобедрени правоъгълни триъгълници, а О е пресечната точка на диагоналите на четириъгълника ABCD. Синусът на \( \sphericalangle BOC\) е равен на:

\(\ 2 \over \sqrt{10}\)
\(\ 1 \over \sqrt{10}\)
\(\ 1 \over 3\)
\(\ 3 \over \sqrt{10}\)

Решенията на задачите по-долу запишете отделно в тетрадката си

Пресметнете стойността на \(\ tg2\alpha\), ако \(\ sin\alpha\ = {3 \over 5}\) и \(\ {\pi \over 2} < \alpha < \pi\).

При \(\ x = 2 + \sqrt2\) пресметнете стойността на израза \(\ {x+1 \over x^{2} - x - 2} + {x-3 \over x^{2} + 5x + 6},x \neq -1,x \neq 2,x \neq 3\).

Мъж и жена внесли в различни банки една и съща сума за период от 2 години, като мъжът направил това при сложна лихва от 2 %, а жената – при проста лихва. Оказало се, че в края на лихвения период натрупаните суми на двамата били равни. Намерете лихвения процент, при който жената е направила своя депозит.

Каква е вероятността произволно число от редицата \(\ -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\) да е решение на неравенството \(\ x^2 - 16 \le 0\)?

Квадрат със страна \(\ 5\sqrt2 cm\) е вписан в окръжност. Определете дължината на окръжността.

Решете неравенството \(\ {x^4 - 2x^{2} -8 \over x^{2} + 2x + 1} \le 0\) и проверете кои от числата \(\ a = 8^{log_{2}5}\), \(\ b = -{16\sqrt7 \over \sqrt{28}}\), \(\ c = log_{2}{2-\sqrt{12} \over 1-\sqrt3}\) са негови решения.

Решете уравнението \(\left(2.{x^2 -3 \over x-1} +1\right)\left(2.{x^2 -3 \over x-1} -1\right) = {\left({x^2 -3 \over x-1} +1\right)}^2 - 1\).

В правоъгълния \( \triangle ABC\) отсечките AL и BO са ъглополовящите съответно на \( \sphericalangle BАC\) и \( \sphericalangle АBC\) \(\ (L \in BC, O \in AL)\). От точката О към AL е издигнат перпендикуляр, който пресича хипотенузата АВ в средата ѝ точка М. Намерете страните на \( \triangle ABC\), ако \(\ MO = \sqrt5\).