ДЗИ по математика - МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА 29.08.2017 г.

1. Кое от числата е най-голямо?

\(\ 3^{1 \over 2}\)
\({\left({1 \over 3}\right)}^2\)
\(\ 2^{-3}\)
\({\left({1 \over 2}\right)}^{-{1 \over 2}}\)

2. Намерете стойността на A, ако \(\ A = {{log_{3}9} - {1 \over 4} {log_{2}} {1 \over 16} + {log_{1 \over 2} 4}}\).

\(\ 4\)
\(\ -1\)
\(\ 1\)
\(\ 2\)

3. Множеството от допустими стойности на израза \(\ A = \sqrt{2 \over x - 3} + {1 \over 5 - x}\) е:
\(\ x \in (3;5)\)
\(\ x \in [3;5) \cup (5;+ \infty)\)
\(\ x \in (3;5) \cup (5;+ \infty)\)
\(\ x \in (-\infty;3) \cup (3;5) \cup (5;+ \infty)\)

4. Стойността на израза \(\ {a^3.{(-a^3)}^4.a^{-12}} \over {(-a)}^7\) при \(\ a= \sqrt 3\) е равна на:

\(\ 1 \over 9\)
\(\ -{1 \over 9}\)
\(\ -9\)
\(\ 9\)

5. Числата \(\sqrt 2\) и \(\ 2\) са два от корените на биквадратното уравнение:
\(\ x^4 - 6x^2 - 8 = 0\)
\(\ x^4 + 6x^2 + 8 = 0\)
\(\ x^4 + 6x^2 - 8 = 0\)
\(\ x^4 - 6x^2 + 8 = 0\)

6. Ако \(\ x_1\) и \(\ x_2\) са корени на уравнението \(\ x^2 - 16x + 12 = 0\), то изразът \(\ x_1(2-x_2) + 2x_2\) е равен на:
\(\ 12\)
\(\ 20\)
\(\ 44\)
\(\ 16\)

7. Стойността на \(\ cos2280°\) е:
\(\sqrt3 \over2\)
\(\ 1 \over2\)
\(\ -{1 \over2}\)
\(\ -{\sqrt3 \over2}\)

8. Точките М и Р лежат на страната АС на \( \triangle ABC\), като \(\ CM:MP:PA = 2:3:4\). Отсечките PQ и MN са успоредни на \(\ AB(N \in BC, Q \in BC)\) и \(\ CQ = 15 cm\). Дължината на BN е:

\(\ 3 cm\)
\(\ 12 cm\)
\(\ 27 cm\)
\(\ 21 cm\)

9. Aко \(\ cos\alpha = {1 \over 3}\), то стойността на \(\ cos 2\alpha\) е:

\(\ -{1 \over 9}\)
\(\ -{7 \over 9}\)
\(\ 2 \over 3\)
\(\ 1 \over 9\)

10. За функцията \(\ y ={1 \over 4}x^2 - x + 1\) определете координатите на върха на параболата.

\((0;2)\)
\((-1;2)\)
\((2;-1)\)
\((2;0)\)

11. Множеството от решенията на неравенството \(\ -x^3 > -4x\) е:

\(\ x \in (-2;2)\)
\(\ x \in (-\infty;-2) \cup (0;2)\)
\(\ x \in (-2;0) \cup (2;\infty)\)
\(\ x \in (-\infty;-2) \cup (2;\infty)\)

12. Коя от зададените с формула за общия й член числова редица \(\ a_{1}, a_{2}...a_{n},....., \forall n \in \mathbb{N}\), е строго намаляваща?
\(\ a_{n} = - n^2 + 6n -9\)
\(\ a_{n} = - n^2 + 2n -1\)
\(\ a_{n} = - n^2 + 4n -4\)
\(\ a_{n} = - n^2 + 18n -81\)

13. Намерете частното на растяща геометрична прогресия, ако \(\ a_1 = 3\) и \(\ a_5 = 48\).

\(\ -\sqrt[5]16\)
\(\ 2\)
\(\sqrt[5]16\)
\(\ -2\)

14. Ако \(\alpha \in (0°;90°)\) и \(\ tg\alpha = {3 \over 2}\), то НЕВЯРНОТО твърдение е:

\(\ cos \alpha = {\sqrt 3 \over 2}\)
\(\ sin \alpha > cos\alpha\)
\(\ cotg \alpha = {2 \over 3}\)
\(\alpha > 45°\)

15. Ако x е средноаритметичното на статистическия ред \(\ 2,2,3,5,8,13,21,34\) и y е средноаритметичното на реда \(\ 4,4,5,7,10,15,23,36\), то определете \(|x-y|\).
\(\ 4\)
\(\ 2\)
\(\ 6\)
\(\ 8\)

16. Броят на четните четирицифрени числа с различни цифри, записани с цифрите \(\ 1,2,3,4\) и \(\ 5\) е:
\(\ 48\)
\(\ 24\)
\(\ 120\)
\(\ 60\)

17. Намерете дължината на страната ВС на \( \triangle ABC\), ако \(\ AC = 6 cm\), \( \sphericalangle A = 30°\) и \( \sphericalangle C = 105°\).

\(\ 3\sqrt 2 cm\)
\(\ 2 cm\)
\(\ 2\sqrt 2 cm\)
\(\ 3 cm\)

18. В правоъгълния \( \triangle ABC\), хипотенузата AB e \(\ 7 cm\) и проекцията AD на катета AC върху хипотенузата е \(\ 3 cm\). Дължината на BC е:

\(\ 2\sqrt 3 cm\)
\(\sqrt{21} cm\)
\(\ 28 cm\)
\(\ 2\sqrt 7 cm\)

19. В успоредника \(\ ABCD\) \(\ AB = 2 cm, BC = 1 cm\), \(\ AC \bot BC\) и \(\ AH \bot CD\). Отношението \(\ S_{\vartriangle AHD} \over S_ {ABCD}\) е равно на:

\(\ 1:8\)
\(\ 1:4\)
\(\ 1:3\)
\(\ 1:7\)

20. Разликата от дължините на основите на трапец, вписан в окръжност, е \(\ 6 cm\) и котангенсът на един от ъглите му е \(\ 0,6\). Дължината на височината на трапеца е:
\(\ 5 cm\)
\(\ 3,6 cm\)
\(\ 7,2 cm\)
\(\ 10 cm\)

21. Пресметнете стойността на израза \(\ 25^{log_{5}3} - log_2{{\sqrt[3]27 + log_{2}32} \over 2}\).

22. Аритметична прогресия има \(\ 25\) члена. Ако \(\ a_{13} = 15\), то определете сумата \(\ a_{1} + a_{3} + a_{5} + ... + a_{23} + a_{25}\) на членовете с нечетен номер.

Решенията на задачите по-долу запишете отделно в тетрадката си

Намерете за кои стойности на х стойността на израза \(\ 3-2x \over x +3\) е НЕ по-голяма от \(\ -5\).

От урна, в която има \(\ 4\) сини, \(\ 6\) зелени и \(\ 5\) жълти топки, се изваждат едновременно две. Каква е вероятността двете топки да са сини или двете топки да са зелени?

В \( \triangle ABC\) на чертежа страната \(\ AB = 12 cm\) и \(\ cos(\alpha + \beta) = -{1 \over 3}\).

Намерете дължината на радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

Решете уравнението \(\ {{x^2 - x \over x^2 + x} + {x^2 + x \over x^2 - x}} = {x^2 - 3x \over x^2 - 1}\).

За геометрична прогресия е дадено, че \(\ a_{5} - a_{3} = 36\) и \(\ a_{3} - a_{1} = 144\). Намерете сумата на първите й \(\ 5\) члена.

Диагоналите на четириъгълника ABCD, който е вписан в окръжност с радиус \( \sqrt 3 cm\), се пресичат в точка О. Ако \(\ AO = 2 cm\), \(\ CO = 1 cm\), \(\ AB = BC\) и \(\sphericalangle ADC < \sphericalangle ABC\), намерете диагонала BD и страните на четириъгълника.